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課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰暑修
課程教師︰朱樺
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2017/8/21
考試時限（分鐘）：150
試題 :
(1) (30%) Find the limit.
-1 n^n
(a) lim sin(tan (-----))
n→∞ n!
5 1 4 n^2
(b) lim (n sin--- - n + -----)
n→∞ n 6
xy+yz^2+xz^2
(c) lim --------------
(x,y,z)→(0,0,0) x^2+y^2+z^4
x^3+3y^3
(d) lim ----------
(x,y)→(0,0) 2x^2+y^2
e^(x^2)+y^2-1
(e) lim ------------
(x,y)→(0,0) x^2+y^2
(2) (24%) Determine whether the series is absolutely convergent, conditionally
convergent or divergent.
∞ (-1)^n
(a) Σ --------
n=2 n ln n
∞ n 1
(b) Σ (-1) sin n sin(-----)
n=1 n^2
∞ n 1‧4‧7...(3n-2)
(c) Σ (-1) ------------------
n=1 3‧5‧7...(2n+1)
∞ n (n!)^n (n^n)^2
(d) Σ (-1) ----------------
n=1 n^(n^2)
(3) (12%) Find the sum of the series.
∞ -1 -1
(a) Σ (tan (n+1)-tan n)
n=1
∞ n^2
(b) Σ -----
n=1 3^n
(4) (18%) Find the Maclaurin series of the function.
1
(a) f(x) = --------
e^(2x)
3
(b) f(x) = cos x
x^2
(c) f(x) = -------
√(x+2)
(5) (6%) Find the interval of convergence of the power series
∞ n (2x-1)^(2n+1)
Σ (-1) --------------- .
n=1 4^n n^5
0.1 -1
(6) (8%) Approximate the difinite intergral ∫ x tan (3x^2)dx so that it is
0
accurate to within 10^(-10).
(7) (6%) Find the equation of the surface generated by rotating the curve C.
(a) C：x^2-y^2 = 1; about the x-axis.
(b) C：xy = 1; about the y-axis.
(8) (8%) Two particles travel along the space curves
r1(t) =〈t^2,7t-12,t^2〉and r2(t) =〈4t-3,t^2,5t-6〉, t≧0.
(a) Do their paths intersect? What is the angle between then at the
intersection point?
(b) Do the particles collide?
(9) (8%) What point at the curve y = ln x has the largest curvative?
(10) (10%) Find the unit tangent vector T(t), the unit normal vector N(t) and
the unit binormal vector B(t) for the curve
r(t) =〈t^2, sin t - t cos t, cos t + t sin t〉, t ∈ R.
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