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※ 引述《k5l220 (抖抖)》之銘言：
: 請問一下 傅立葉積分可以用在周期函數嗎
: 之前算題目 有周期函數要求傅立葉積分
: 可是我不知道是題目有錯還怎樣
: 還是有特殊情形周期函數就可以用傅立葉積分
: 有人可以幫我解答一下嗎 謝謝
可以，這是信號與系統常見的問題...
所以以下推導不是數學系所中意的，只能拿來給工程師看
請板上眾高手鞭小力些..
下面我用的Fourier Transform pair定義如下：
F( x(t) ) = S x(t) exp(-j2πft) dt
-1
F( X(t) ) = S X(f) exp(j2πft) df
式子中 S 代表積分，區間均為正負無限大。一般而言，x(t)與X(f)
被稱為Fourier Transform pairs, 並在工程上常以下列符號表示
x(t) <--> X(f)
-----
要用Foureir Transform要知道下面三件事情
1. 週期函數以pulse sequence表達
首先假設 S(t) 是周期函數
s(t) = S(t) for 0 <= t < T （第一個周期）
= 0 for else
那麼 S(t) = s(t) * Σ δ(t - kT) -- (1)
k
其中 * 代表convolution
注意 Σδ(t - kT) 代表在t軸上，周期為T的pulse函數序列
(1)式的意義為，s(t)和pulse序列做convolution後，就是原本的
週期函數S(t)
2. 時域上做convoultion相當於頻域上相乘
接著要對S(t)做Fourier Transform之前，要先知道
一個convolution的性質，就是
x(t) * y(t) <---> X(f)Y(f) -- (2)
也就是說，兩個函數x ,y在time domain做convoultion，在frequency domain
相對應的動作是這兩個函數經過Fourier Transform後, X, Y相乘
3. Σ δ(t - kT) 的Fourier Transform
well, 我承認這個是背出來的結論:p, 這是眾多工程用書上的結論 without proof。
這個pulse序列的Fourier Transform為另一個pulse序列：
1 k
Σ δ(t - kT) <--> --- Σ δ(f - ---) -- (3)
k T k T
----
有了以上3點，我們用這3點找 週期函數 S(t) 的Fourier transfrom:
首先利用1. 我們有 S(t) = s(t) * Σ δ(t - kT)
再來利用2. 把等號兩邊都取Fourier Transform，所以我們有
F( S(t) ) = F( s(t) * Σ δ(t - kT) )
= F( s(t) ) x F( Σ δ(t - kT) ) ('x'代表相乘)
1 k
利用3. = F( s(t) ) x --- Σ δ(f - ---)
T T
1 k
= Ss(f) x --- Σ δ(f - ---) (Ss(f) 代表 s(t)
T T 的FourierTransform)
1 k k
= --- Σ Ss(---) δ(f - ---)
T T T
因此，簡單的說，周期函數的FourierTransform就是
先把其中一個周期裡，函數的樣子拿去做Fourier transform後
再把transform之後的結果，每隔 1/T 為周期，
用pulse序列取sample。
歡迎去修信號與系統你會對Fourier Transform有更直覺的認識XD
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