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※ 引述《spacesea (海星)》之銘言：
: 不材原po幾年前數學系畢業，
: 但是拓樸沒有好好學，一直講不出它在處理什麼問題，
: 研究所讀非本科系，看到text topology，網路查半天也爬了文連拓樸都搞不清楚，
剛剛亂看text topology,這語言學的東西我也看不懂,但是但是有
"拓樸"關係是可以想像的(沒認真看也許是我亂想的)
: 生科背景的同學說以前他們也有學到拓樸，
: 先不管拓樸在其他領域上的應用，
: 要怎樣用比較科普的方式說明拓樸呢？
分享一本好書,我覺得非常非常棒,這才是真正給初學拓樸的又非常有深度的
科普好書,該證明的也有證,該用數學的也有寫,不過他花了很多力氣畫圖和解釋
我也沒太多時間看啦
直觀拓樸 王敬賡 北京師大出版社
這個連中國著名數學家姜伯駒大師用序都推薦了,想必是一本非常有可看性的好書
裡面比如談到非常重要的有很多幾何是大數學家對Euler多面體的天才證明
比如Euler,Legendre,笛卡兒等的天才證明,應該沒有拓樸學教科書的會寫到這些東西
還有拓樸最開始一筆畫問題和著色問題一些證明有寫,四色定理也都有提一點(這太難了)
所以他證明五色定理給讀者看看,還有該說的東西和大定理也有提,比如Jordan曲線定理,
Brower不動點定理,代數基本定理都有證明,真的是超棒的
他也用很多淺顯的語言和觀念又用簡單數學去談一點代數拓樸和鏈群和環,還有同痕的概念
比如最有名的Jones polynomial這是費爾茲獎得成就,
這也跟辮子群和跟楊振寧的楊-Baxter方程有關,不過他好像沒提楊-Baxter方程只提統力
這是楊振寧大師從統力發現的,但他說沒想到楊-Baxter方程竟然比他想像的還要重要得多
(因為他幾乎能好幾個領域能做的事情可多的呢><)
扭結理論和辮子群這是在拓樸量子場論和高深的統計力學和拓樸量子資訊會用的到的
最後根據這本書的定義和解說,之前有板友說二個不相交的圈圈和有相交的圈圈
是同胚的(homeomorphism),這是不太正確的,他裡面有一個習題就是對A-Z做分類
最簡單的就是P和Q不同胚(Q下面那一撇要寫進去)
據物理版某高手說,現在某些在美國物理學系的對topology朗朗上口
不過我是不知道真正的topology跟topological insulator有什麼太密切的關係,
TI的表面存在一些特殊的quantum states,這些quantum states位於bulk的energy
band structure的band gap之中,所以表面可以導電,這些quantum states有topology性質
倒覺得這是代數拓樸的東西(Z和Z_2)和點群的東西用很多很多,在此可以展現點群的威力
還要一點微分幾何的Chern number,不過看半天也不知道這到底要幹嘛,也沒人可問><
因為沒學過Fibre bundle對Chern class沒什麼認識,所以更無法想像Chern number是整數
還有為何TI是跟物理裡面的quantum hall effect(QHE)相關,這都是凝態物理很後面的東西
我不知道為何graphene是quantum spin hall effect(QSHE)相關?
但是QHE和QSHE觀念又差很多,目前好像也沒有教科書提到QSHE(老闆說沒有寫這樣才好><)
但是某些地方TI和graphene很像,都是可以用massless的Dirac fermion來表示,
graphene是凝態去年諾貝爾獎,不過graphene應該是2006被發現的,TI應該是2008
反正這跟graphene有點像又不太像論文只是提到而沒有證明和仔細說明對我充滿了迷霧
反正我非常弱就是了,這裡面數學也是複雜的嚇死人,有一陣子就每天抱著這篇邊幹譙邊念
Hasan and Kane: Colloquium: Topological insulators. Rev. Mod. Phys
和相關的30-40多篇論文,然後每天就活在生不如死的狀態(沒人問又不敢問老闆怕stupid)
亂念了1個月,我決定不要為科學獻身了(實際上是埋葬在那墳墓裡><)
因為topological insulator算是顯學,某些超導材料的的特性,不過倒是真的重要的問題
都被大咖做光了,不過只要實驗有突破,也許這是未來有潛力的科技新產品
老闆也說沒關係,我這小咖不須煩惱這問題,只要一個小突破做個小題目就能畢業了
(問題是我有N個小問題和迴圈在裡面呀><)
TI科普文(千萬不要被這看似沒有數學的東西騙進來,重點是你凝態和數學也要很強)
https://www.nature.com/nphys/journal/v4/n5/pdf/nphys955.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator
拓撲絕緣體是一種內部絕緣，界面允許電荷移動的材料。
在拓撲絕緣體的內部，電子能帶結構和常規的絕緣體相似，其費米能級位於導帶和價帶之
間。在拓撲絕緣體的表面存在一些特殊的量子態，這些量子態位於塊體能帶結構的帶隙之
中，從而允許導電。這些量子態可以用類似拓撲學中的虧格的整數表徵，是拓撲有序的一
個特例。[1]
拓撲保護的邊緣狀態（一維）在碲化汞/碲化鎘量子阱中被預言，[2]隨後由實驗觀測證實
。[3]很快拓撲絕緣體又被預言存在於含鉍的二元化合物三維固體中。[4]第一個實驗實現
的三維拓撲絕緣體在銻化鉍中被觀察到，[5]隨後不同實驗組又通過角分辨光電子譜的方
法，在銻，碲化鉍，硒化鉍，碲化銻中觀察到了拓撲保護的表面量子態。[6] 現在人們相
信，在其他一些材料體系中，也存在拓撲絕緣態。[7]在這些材料中，由於自然存在的缺
陷，費米能級實際上或是位於導帶或是位於價帶，必須通過摻雜或者通過改變其電勢將費
米能級調節到禁帶之中。[8][9]
類似的邊緣效應同樣出現於量子霍爾效應之中，但僅在強垂直磁場，低溫的二維繫統中出
現。
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