「未來到底會怎樣發展」是個永恆的大哉問，太多作者都爭著回答這個問題，但太少書真的能提出有深度的見解。雖然現在距離年底還有好幾個月，但《大減速》很可能是今年給我最大啟示，而且還回答了這個大哉問的一本書。
我們才剛經歷人類歷史上空前（甚至可能絕後）的快速成長的時期，接下來到底會持續成長或者衰退？本書提出的論述核心如同標題，就是：未來將進入成長減速。我們要先理解的是，減速不等於衰退。作者丹尼．道靈將「增速／減速」、「成長／衰退」視作一個二乘二的矩陣，人類社會長期會趨向穩定，因此「增速的成長／減速」最終走向「減速的成長／衰退」。
人口議題：100億或者不達100億，是個問題
討論到成長議題，最首當其衝的莫過人口數。聯合國對地球總人口數將於2100年達到110億，以目前全球人口約77億來說，表示未來80年間將以0.45%的複合成長率成長，人口總數將約為現在的1.5倍。道靈則認為，人口將於2060年達到頂峰的93億，並於2100年衰退至74億。換言之，人口數將從過去的增速成長、進入現在的減速成長期，而成長終將結束，並開始衰退。挪威人口學者約爾根．拉那斯觀點則更為悲觀，他認為人口將於2040年達到80億的頂峰，之後便開始減少。其他人口學者也有類似觀點，即：人口將在21世紀中達到峰值，並正式進入衰退期。
人口成長率的峰值則略呈現雙峰型態，第一個峰頂在1990年、第二個峰頂在2017年；從1990年到2000年略為走衰，但2000年到2017年又開始走揚，2017年之後則正式走入長期的成長衰退。但就長期而言，1990年到2017年也可視作一個高原期。
2019年電影《復仇者聯盟：無限之戰》中（很巧的是，本書原文版也於同年出版），薩諾斯彈指隨機消除了地球一半的生命，藉此想解決資源不足帶來的所有問題。且讓我們腦洞大開一下，假設現在地球隨機消失了一半人口，人口成長率將會如何變化呢？
第一種可能，就是人口重回加速成長。過去歷史曾有兩次大規模人口衰退，第一次是在西元1500年到1600年間，主因是瘟疫；第二次在19世紀初，主因是戰爭與殖民。這個可能性成真的機率顯然不小，因為瘟疫、戰爭及殖民等因素都是無預警的大規模人口削減；換言之，要是薩諾斯真的隨機消除了一半人口，他可能會發現，一百年或者兩百年後，人口總數就又恢復到原本的數字。
第二種可能，則是人口持續減速成長。這個可能性其實隱含著一個假設，也就是：某個直接導致成長衰退的因素並沒有消失。換言之，人口數的多寡並非導致人口成長或者衰退速度變化的「因」，反而人口數與人口成長趨勢都是某個因素的「果」。因此，即使人口急遽減少，也不表示會重回成長趨勢。
這個「因」是什麼呢？作者認為，這是因為女性對於選擇要生育幾個孩子的權力提升了，從幾百年前平均生育5個孩子到現在2個孩子。當然，我認為避孕方式的進步、家庭結構的轉型、經濟模式的改變，都是女性權力提升的重要基石，許多看似單純的事物，背後都並不單純。而這些綜合性的因素也反過頭來說明，只是倡議女性生育更多孩子，難以強化女性對生育的意願。當然，如果這個因素這麼容易，作者恐怕也寫不了這麼厚的一本書。作者針對各個國家、地區個別分析，非常建議仔細研讀。
經濟議題：更趨緩的經濟成長是否意味更寬鬆的經濟政策？
經濟是人類行為的總結，但正式成為學科不過才幾百年，這表示，過去至今的經濟學知識，都是根植於「人口成長持續增速」的假設。如今，在人口成長以及各種現象都開始趨緩的情況下，人類對於經濟的理解會有怎樣改變呢？
道靈對於資本主義提出一個非常有趣的見解，他認為，資本主義本身不是一種經濟模式，而是從一種模式轉移到另一種模式的過程。原因在於，經濟模式指的是一種穩定的狀態，但資本主義本身非常不穩定、其存在的目的就是不斷追求改變，因此並非模式，而是一種模式之間的過渡現象。如果用這個角度思考，那個上個世紀九零年代的「破壞式創新」，恐怕就是那個成長增速時代的產物，未來恐怕不復見。
但這麼說，肯定很多人會想反駁：明明現在科技的進步速度還是很快，何來減速之有？道靈這麼解釋：「現在我們覺得新穎的東西，實在太常和以前的東西沒有基本上的差別：不像以前的新穎那麼新，甚至不像以前的新穎那麼有用。從螢幕上的型錄訂購東西，和使用紙本型錄並沒有那麼大的差別，而從影像螢幕上看到通話對象，並不像當初用電話與人即時對話那樣突飛猛進。」簡單說來，重點並非不是技術進步的有多快，而是科技造成我們生活改善的幅度有多大。
道靈甚至稱：「我們不該高估技術的重要性，也不應該低估人類開始設法活在穩定狀態的能力。」道靈在本書中不斷強調一個觀點，即，減速並非壞事，我們不應將減速當成是需要解決的問題，而是必須認清減速已經是既存的事實。
從政府的角度看來，不增速的經濟環境，意味著刺激經濟成長政策的效果將減少。政府控制經濟的兩大手段，就是財政政策與貨幣政策，擴張性的經濟政策，通常是指政府增加支出於公共建設好帶動經濟，以及釋放更多貨幣或降低利率。當人口停滯、經濟放緩時，政府投資的支出恐怕難以收效；但另一方面，成長放緩也意味著長期利率沒有升高的理由，因此政府很可能將使貨幣維持長期的寬鬆狀態。
對於各國財政首長、央行首長以及經濟學家而言，通貨緊縮是必須避免的最壞結果，但以後恐怕將成為新常態。通貨緊縮代表人類對未來的預期傾向悲觀，將減少財富的累積與擴張，但我們都還無法判斷，貧富差距是否會因此縮窄。我認為，在我們有生之前可能還看不到資本主義消失、全球貧富差距也不見得有機會縮窄，因此經濟學家的最大目標很可能會轉移成：如何將所有人都盡可能拉到貧窮線以上。換言之，這又回到了貨幣寬鬆將成為新常態的結論。
經濟面與政府政策的轉變將對投資領域帶來重大影響，長期低利意味著傳統的投資概念都會跟著改變。景氣循環是否會影響利率？股債是否還會呈現反向？黃金是否仍能保值？一切規矩都可能得全部改寫。從不穩定進入穩定的這段時期本身就會帶來更大的不穩定，2007年金融海嘯至今超長期的貨幣寬鬆現象，很可能就是這場變革的前奏，只是我們猶未可知。
結語：迎接眾神之國的時代
北歐神話中，諸神居住在神國阿斯加特。眾神皆長壽、近乎不老不死，因此繁榮富庶的阿斯加特罕有新神降生。小時候讀到故事時，總覺得奇怪，既然是神自然沒有資源匱乏的問題，何以諸神無心繁衍種族？現在終於理解，擁有人性的我們，物質越來越繁榮、智慧越來越開展、思考越來越多抽象的概念時，生育與養育的機會成本也就越來越高。
人類發展到極致，如今終於要踏進眾神之國的時代。當成長，或者更快的成長，已經不再是我們集體追求的目標，我們的價值觀與信念，勢必也會有大幅度的改變。《大減速》能給我們的最大啟示，無非是得做好心理準備，迎接這場所有改變都將減緩的新局面。
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反矩陣存在 在 Re: [線代] 方陣反矩陣- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
前面已經有答案了，不過因為之前做過一個對任意方陣的筆記整理，
就貼一下 也許對有些人有幫助：
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若方陣 M 可逆，則存在唯一的 M" 使得 MM" = M"M = I。
稱 M" 為 M 的 inverse。
我們可以更仔細定義矩陣的 left inverse (左逆) 跟 right inverse (右逆)
假設兩者都存在，稱左逆為L，右逆為R，那顯而易見 L=R: 因為 LMR = L(I) = (I)R
比較深度的問題是，為什麼左逆存在時，右逆一定存在呢? (反之亦然)
這個問題看似普通，但其實可以從更基礎的角度理解，
也就是探討 nxm 矩陣的左逆和右逆 (當n不等於m時，兩者不一定會相等)
對於非方陣的矩陣，要找出左逆跟右逆需要一些理論基礎。
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定理1 (左逆性質):
若 A 是 nxm 矩陣，以下條件等價
(i) 存在 L 為 mxn 矩陣，滿足 LA = I (I 為 mxm 矩陣)
(ii) A 是 1-1，也就是 A 的 nullspace 只有 {0}
(iii) A*A 為正定矩陣
(iv) 對任意向量b，最多只有一個x 滿足 Ax=b
定理2 (右逆性質):
若 A 是 nxm 矩陣，以下條件等價
(i) 存在 R 為 mxn 矩陣，滿足 AR = I (I 為 nxn 矩陣)
(ii) A 是 onto，也就是 range(A) 包括整個 Ｃ^m 空間
(iii) AA* 為正定矩陣
(iv) 對任意向量b，至少有一個x 滿足 Ax=b
定理3 (方陣性質):
若 A 是 nxn 矩陣，則左逆存在 <=> 右逆存在。
左逆和右逆相等且唯一，稱作 A"。
＊
定理1的證明：
(i) => (ii): 若 Ax=0 且存在 LA=I，則 x = LAx = L(0) = 0，因此 x 必為 0
(ii) => (iii): 若 null(A) = 0，
則 x*A*Ax = |Ax|^2 >= 0 的等號只有 x=0 時才成立，故 A*A 正定
(iii) => (i): 因為 A*A 可逆，[(AA*)"A*] A = I，所以 A 有左逆。
(ii) <=> (iv): 略。
定理2的證明:
(i) => (ii): 對任意向量b屬於Ｃ^m，欲找出 x 滿足 Ax = b
因為有 AR = I，可令 x = Rb，則 A(Rb) = b 是一個解。
(ii) => (iii): 這需要用到下列引理：
引理：A 的 column space ，和 A* 的 nullspace 彼此為正交子空間。
證明: 若存在u,v，滿足 Ax=u, A*v=0，
則 (v*)u = v*(Ax) = (A*v)*x = (0*)x = 0，因此 u,v 正交。
由此可知，因為 A 為 onto，則 null(A*)=0，
x*AA*x = |(A*x)|^2 >= 0 的等號只有 x=0 時成立，所以 AA* 正定。
(iii) => (i): 因為 AA* 可逆，A [A*(AA*)"] = I，所以 A 有右逆。
(ii) <=> (iv): 略。
定理3的證明: 這要用到很基本的線代性質： rank(A) = rank(A*)
對於 nxn 方陣A ，如果左逆存在，則A為 1-1，
由證明2中的引理，A* 是 onto
又因為 rank(A) = rank(A*)，而且A是方陣，可知A也是 onto，
因此由定理2， A 也存在右逆。
類似的方式可以證明，對於方陣A，如果右逆存在，那麼左逆也存在。
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~因為生活已經太複雜了
所以就讓我們的愛情單純吧~
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