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變數常數差別在數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文

2020-06-26 05:33:18 有 39 人按讚

【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
　
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
　
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
　
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
　
1⃣
　
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
　
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
　
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
　
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
　
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
　
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
　
2⃣
　
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
　
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
　
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
　
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
　
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
　
3⃣
　
高中教過許多關於基本函數的公式
　
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
　
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
　
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
　
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
　
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
　
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
　
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
　
4⃣
　
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
　
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
　
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
　
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
　
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
　
5⃣
　
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
　
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
　
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
　
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
　
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
　
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
　
6⃣
　
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
　
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
　
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
　
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
　
這邊列一下定義內容：
　
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
　
噁心吧？
　
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
　
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
　
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
　
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
　
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
　
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
　
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
　
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
　
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
　
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
　
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
　
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
　
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
　
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
　
嗯... 我又離題了
　
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
　
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
　
///
　
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
　
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
　
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
　
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
　
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
　
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Tags: 變數常數差別

數學老師張旭

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變數常數差別在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最佳解答

By Taipei Ethereum Meetup

2019-11-17 23:14:17 有 36 人按讚

📜 [專欄新文章] 瞭解神秘的 ZK-STARKs
✍️ Kimi Wu
📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

上一篇關於 zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹 STARK 會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

STARK 被視為新一代的 SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及
2. 抗量子攻擊

但 STARK 也沒這麼完美，STARK 的證明量(proof size)約 40–50KB，太佔空間，相較於 SNARK 只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

STARK 的 S 除了簡潔（Succinct）也代表了擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
SNARK 跟 STARK 都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

快轉一下 SNARK 是如何運作的。
Alice 有多項式 P(x)、Bob有秘密 s，Alice 不知道 s、Bob 不知道 P(x)的狀況下，Bob 可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s → H(s)，藉由 QAP/Pinocchio 達到了簡潔地驗證，然後把 H(s) 放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章。

問題轉換

零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

問題 → 限制條件 → 多項式

在 SNRAK 跟 STARK 都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： x³ + 3x² + 3 = 0，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 x^2000000 + x^1999999 + … 則難度會高非常多。

第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。
這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）
1. 若數字為偶數，則除以2
2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52 -> 26 -> … -> 1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考 StarkWare的文章）如下

https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

合成多項式

接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

修改多項式維度

這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 … 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為2^n維度

假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為Cj(x)，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於2^n，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D -Dj）的多項式，

所以最終的合成多項式，如下

其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

*這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

FRI

FRI 的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI 之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

RS 糾刪碼：

糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

降低複雜度

假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二變數 y，使 y = x^{1000}，所以多項式可改寫為 g(x, y) = 1744*x^{423}*y^{185}。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在 FRI 目前的實做，是將維度對半降低 y = x²（f(x) = g(x, x²)）。

此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

f(x)= g(x²) + xh(x²)

假如：

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵
g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴, （g(x) = a0 + a2x + a4x²）
h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴, （h(x) = a1 + a3x + a5x² ）

藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而 FRI 協議在流程上包含兩階段 — 「提交」跟「查詢」。

提交階段：提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²)
==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（驗證者提供）
==> f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（驗證者提供）
==> . . .

查詢階段：這個階段要驗證證明者所提交的多項式 f0(x), f1(x), f2(x), … 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²)
f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)

藉由兩者相加、相減，及可得g0(z²)、h0(z²)，則可以計算出f1(z²)，再推導出f1(x)，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

Interactive Oracle Proofs (IOPs)

藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20–30次（log2(d)），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

* 與SNARK比較：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

非互動性

藉由 Micali 建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali 建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本 PCPs 要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

首先，先把證明 𝚿組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數 𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的 PCP + Fiat-Shamir Heuristic，即可達到非互動性。

* 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

MIMC

大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的 MIMC，計算過程如下：

https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合 VDF 的運算。Vitalik有一個使用 MIMIC 作為 VDF 的提案。

ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證

從上面的解釋，可以理解為什麼 STARK 不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為 SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。

有錯誤或是不同看法，歡迎指教

參考：
StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
STARK 系列文：
STARK Math: The Journey Begins
Arithmetization I
Arithmetization II
Low Degree Testing
A Framework for Efficient STARKs
Vitalik 系列文：
STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
STARKs, Part II: Thank Goodness It’s FRI-day
STARKs, Part 3: Into the Weeds
ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated

Originally published at http://kimiwublog.blogspot.com on November 12, 2019.

瞭解神秘的 ZK-STARKs was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

👏 歡迎轉載分享鼓掌

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變數常數差別在吳老師教學部落格 Youtube 的最佳貼文

By 吳老師教學部落格

2012-03-28 02:00:27 有 1,069 人看過有 0 人喜歡

EXCEL函數與VBA設計(自強基金會2012)第4次上課

不難上的太難，又不能上的太快，所以藉由GOOGLE的服務達成師生互動目的。
分享GOOGLE雲端應用：
1.GO.GL：縮短網址
2.GOOGLE表單：取得使用者訊息或問卷調查
3.GOOGLE試算表：當成雲端資料庫
4.GOOGLE共用資料集：分享雲端檔案
5.GOOGLE網上論壇：學員論壇空間，可分享影音連結與討論，必須登入才能取得資源。
6.YOUTUBE影音平台：存放錄製好的教學影音，必利用影音清單建立連續播放功能。
7.GOOGLE Blogger：建立部落格與教學網誌，並嵌入部分影音分享。

一、我的上課用書：
看！就是比你早下班－50個Excel VBA高手問題解決法
作者：楊玉文
http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010497458

Excel函數&VBA其實很簡單(附贈超值影音教學光碟)
作者：林文恭研究室
書號： AEI003800 出版日： 2009/12/28
價格： 420

Excel VBA 與資料庫整合大活用
書號：SP20098 作者：古川順平著
定價：NT$490元
出版日：2010/3/18 譯者：博碩文化編

跟我學Excel VBA：將複雜的操作用一個按鍵就搞定！
作者：恩光技術團隊江高舉
出版日： 2010/10/19

都有拿來上過課，但單不算太推薦，各有優缺點啦!

二、這次的課程理念：
1. 循序漸進, 透過實用的範例, 輕鬆進入 Excel VBA 設計領域, 逐步了解VBA 架構, 學會：VBA 變數、常數、函式及邏輯的觀念, 即使沒有任何程式設計基礎，也能撰寫編修VBA，提昇工作效率, 晉昇 Excel 高手。
2.進而將EXCEL當成資料庫來使用，結合函數、VBA等更深入的功能，讓資料處理和分析的應用更上層樓。
3.若能結合GOOGLE雲端試算表與表單，讓EXCEL隨時成為您的分身幫您處理事務。

三、課程大綱：
Excel巨集錄製與VBA編輯器
VBA語法與常用程式函數
VBA控制項與表單介面設計
辦公室必備VBA實用範例
實例1：進階功課表
實例2：大型試算表
實例3：文字遊戲
實例4：銷貨單
ExcelVBA與外部資料整合應用

四、課程內容：

01_進階試算表與RAND函數
02_進階成績單解說
03_錄製巨集與產生按鈕
04_錄製巨集程式分析
05_大型試算表_公式與鎖定技巧
06_凍結窗格與九九乘法表範例
07_FV函數計算結果
08_錄製巨集流程
09_修改巨集並增加註解與InputBox輸入介面
10_如何設計VBA的流程與除錯技巧
11_橫向迴圈設計說明
12_整合欄列迴圈
13_將VBA的公式改寫成FV函數

補充資料：
EXCEL函數與VBAGOOGLE論壇 https://groups.google.com/group/excelvba2012?hl=zh-TW

吳老師教學部落格：http://terry55wu.blogspot.com/
論壇：https://groups.google.com/group/excelvba2012?hl=zh-TW

申請EXCEL VBA論壇網路學習者您好：

由於吳老師超過十年以上的教學經驗，對EXCEL與VBA十分純熟，
並將多年的教學過程錄製分享給學生課後學習，讓想學習者也想一同學習，
但礙於加入者實在太眾多，無法讓所有人加入，除非您是：
1.吳老師目前上這門課的學生。
2.吳老師的數位影音申請的學生，也就是申請完整教學影音DVD者。
最近湜憶電腦也開設EXCEL函數與VBA設計課程，若有興趣可以詢問看看。

此外，如果是以上身分者，我可以有條件的讓您加入一同學習，

網路的學習方式非常彈性，隨時隨地都可以學習，因此許多非大台北地區的學生會這樣學習。
以下為完整教學影音DVD申請說明。
http://terry55wu.blogspot.com/p/autocad2008dvd.html
網址：http://goo.gl/xME01

目前只分享以下四種課程，將來還會繼續努力，把EXCEL 函數與VBA影音課程做到最好。
10.Excel2003進階與函數應用共21小時課程(公務人員訓練處)
時數較短的Excel2003進階與函數應用
11.Excel2010進階與函數應用共21小時課程(公務人員訓練處)
時數較短的Excel2010進階與函數應用
12.Excel函數與VBA設計共48小時課程(勞工大學) 長時數的課程教學，上課用書是：Excel函數&VBA其實很簡單(http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010457292)
13.Excel函數與VBA雲端班共30小時課程(自強基金會)
長時數的課程教學，上課用書是：Excel VBA 與資料庫整合大活用
(http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010463634)

以上的課程差異主要在版本2003與2010的差別與課程內容：函數、巨集、VBA設計，不同階段有不同的課程內容。

吳老師 101/1/21

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社群媒體上有些相關的討論：

變數常數差別在請問參數、變數的差別？？ - 看板Physics - 批踢踢實業坊的推薦與評價

作者keugene (^^)

看板Physics

標題請問參數、變數的差別？？

時間Mon Jul 7 05:16:25 2008

因為要做物理理論的模擬
需要推導且設定
所以才發現的問題
以前我都以為這兩者是一樣的東西..以為只是名字不一樣而已
最近才知道原來是不一樣的

所以想請教...
參數(parameter)與變數(variable)
如果再加上係數、常數、自變數、應變數的話~~
這些名詞彼此數學及物理上的差異為何呢?

謝謝~~~

--

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.169.198.195

推 KARO7696:我覺得參數能包括變數但是變數不一定是參數喔~"~ 07/07 09:34

→ KARO7696:但是要怎麼明顯界定~"~ 說不出來 07/07 09:34

推 Frobenius:https://0rz.tw/a24o7 07/08 00:30

→ Frobenius:歸一化常數或係數：紅色的部分 07/08 00:31

→ Frobenius:變數：Ψ、r、θ、φ 07/08 00:34

推 Frobenius:自變數：Ψ，應變數：r、θ、φ(綠色的部分) 07/08 00:39

→ Frobenius:參數：z、n、l、m，又 n、l、m 為空間部分量子數 07/08 00:41

→ Frobenius:常數：a0 (為玻爾半徑) 07/08 00:42

推 Frobenius:判斷方法：連續變化為變數，離散變化為參數 07/08 00:45

推 Frobenius:係數可隨參數而變化，常數永遠為定值 07/08 00:47

推 Frobenius:應變數可隨自變數而變化，應變數即函數 07/08 00:49

→ Frobenius:五樓打反了 07/08 00:50

→ Frobenius:應變數：Ψ，自變數：r、θ、φ(綠色的部分) 07/08 00:51

推 Frobenius:剛說錯是六樓打反了XD 07/08 00:54

推 Frobenius:z為原子序 07/08 01:06

推 Frobenius:連續變化：連小數點都可以包括，可用實數系來想 07/08 01:31

推 Frobenius:離散變化：即不連續變化，比如整數或自然數等等 07/08 01:33

推 youfly:參數<->控制變因自變數<->操縱變因應變數<->應變變因 07/08 13:41

推 Frobenius:推樓上 07/08 14:48

推 e04bank:這篇不錯，算是觀念厘清吧，可以M起來 07/08 16:58

推 jbc527:控制變因和操縱變因的差別是???我一直都搞不太懂^ ^" 07/09 00:12

推 red0210:好難理解Q_Q 07/09 14:29

推 chily:我也不懂參數和變數的差別..在古力裡某個地方學到 07/12 00:16

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#82. Arduino 基本語法筆記 - 小狐狸事務所

宣告常數與全域變數(可有可無) ... 標頭檔可用角括號< > 或雙引號"", 差別是用雙引號時, 前置處理器會先從原始檔所在位置開始去搜尋標頭檔; ...

#83. 微分方程(Differential Equations)

2.1 分離變數微分方程式(Separable Equations, 第42 頁) ... 每給一個C, 對應到的函數滿足微分方程式(2), 而任兩個解之間相差一個常數。

#84. C#關於不變值這件事-1 : 常數Const & ReadOnly - 聆風之境

所以說啊常數是什麼*** 依據C#程式設計手冊，常數(Constants)的定義為: ... 試圖修改const的值，會出現錯誤:「指派的左側必須是變數、屬性或索引子。

#85. Python 入門指南- 單元4 - 變數命名規則與縮排 - 程式語言教學誌

2. 為什麼命名變數要用有意義的英文單字？ 3. 大寫駝峰型跟小寫駝峰型的差別在哪裡？為什麼變數、函數、類別、方法、屬性要有不同的 ...

#86. JavaScript入門基礎| 菜鳥MIS的Coding日記 - - 點部落

JS變數與常數. 變數就是用來存放資料的名稱 //宣告變數 var 變數名稱=值var str="我是字串"; var num1=123; var msg;//宣告變數沒給設定值，預設會是 ...

#87. 【04.07】常數與變數的實作

在「變數name」及「常數Color」如第一二行，而中間「的顏色是」這句，經過 ... 用法沒有差很多，是因為這是很初階的程度，之後更深入時就會有差別嗎？

#88. 真的很可怕的C語言ch12--指標與陣列讀書筆記 - PL-learning Blog

這句意思是把指標變數one_string用"hello, world\n"這個字串的初始位址給初始化，"hello, world\n"這個字串常數在compile跟link時，就配置位址在某處， ...

#89. C 語言:關於變數的二三事 - 傑克! 真是太神奇了!

二者區別是以變數定義出現在.c 檔中的位置來區別: 由於C 語言限制了函數區塊中不可以再定義函數, (C++ 也不支援, 這點和Javascript 是不同的), ...

#90. CH3 Keil C基本架構

宣告區：宣告的變數、常數、函數擴及整個程 ... 在宣告區的變數、常數，其範圍擴及整個程式。亦稱為整體變數 ... if-else與if-else if之差別：.

#91. Chapter 2. 變數(Variable)與資料形態(Data type)

常數（Contsant）不會隨程式執行改變其值。 ... 平均a（整數）、b（整數）、c（平均數）不易分辨差別Objective-C 變數名稱第一個字需英文字母或底線， ...

#92. C語言: 超好懂的指標，初學者請進～ - 寫點科普Kopuchat

什麼是指標（Pointer）; 指標變數（Pointer variable） ... 以int b = 2 為例，在宣告好變數、程式開始執行後，會去記憶體中要一塊儲存空間，然後把2 ...

#93. Python 全域變數

其實Python是沒有全域變數的也沒有常數但其實有一種類似全域常數的方式可以應用 ... 字先來說說區域變數與全域變數的差別區域變數local variable是該變數只有在函式內2 ...

#94. Program - 變數,資料型態,常數 - Google Sites

瞭解變數命名規則、變數宣告與運用。 · 資料型態的種類、意義與運用。 · 學會變數搭配運算式的程式設計與應用。

#95. 勵志語錄：如果敵人讓你生氣，那說明你還沒有勝他的把握

25、有無目標是成功者與平庸者的根本差別。【勵志1】101句鼓勵自己向前的激勵 ... 57、時間是個常數，但也是個變數。勤奮的人無窮多，懶惰的人無窮少 ...

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