【這題怎麼算?至少有三種方法,你用哪一種?】
.
上次在講為何需要極限嚴格定義時
我有問過這題
不少同學知道答案是 1
.
但是為什麼?
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學數學時
最重要的事就是問為什麼
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方法 1️⃣
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有些同學講
因為當 x 越靠近 0 時
sin(x) 和 x 比值越靠近
所以極限是 1
.
這方法蠻直觀的
但不是直接畫圖看左右極限
因為上圖並非 sin(x) / x 的圖形
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方法 2️⃣
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有些同學則使用羅必達法則
分子分母個別微分,再求極限
.
但這方法有點問題
特別是針對初學者
因為在初學極限時
是沒有微分可以使用的
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方法 3️⃣
.
那麼初學者要如何得到這題的極限呢?
可以參考我頻道影片
👉 夾擠定理|觀念講解
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大家是用什麼方法算出這題極限呢?
在下面留言告訴我唄~
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【極限的嚴格定義?大一新生的大難關】
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∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.,
∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε
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這一大串看似咒語的數學敘述
是很多大一新生初學大學微積分的難關
.
而那一大串咒語所代表的意思
就是當 x 趨近 a 時,f(x) 會趨近 L
.
剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪
函數的極限,不是看左右極限就好了?
.
其實不然,像下面這個例子:
lim_{x→0} sin(x) / x
其函數圖形不好畫
所以不容易直接從圖形看出左右極限
.
因此數學家才需要發展極限的嚴格定義
就是最前面看到的那串咒語
.
從該定義出發
先解決基本函數的極限
然後證明函數的極限公式
再搭配一些計算技巧和定理
最終就能靠計算得到大部分函數的極限
.
像剛剛提到的那個例子也行
.
知道那個例子的答案是多少嗎?
知道的同學下面刷一排答案唄~
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【摘要】
本影片主要介紹高斯符號,這是台灣高中數學不一定會提到的內容,所以比較著重在函數圖形的建立以及斷點的左右極限情形分析
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【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
重點一:極限的直觀定義 (https://youtu.be/hZT2fOcxSJw)
重點二:極限的嚴格定義 (https://youtu.be/gCkhy0aODZk)
重點三:一些基本函數的極限 (上集) (https://youtu.be/qoIOFz1D_W4)
重點四:極限運算定理 (四則運算篇) (https://youtu.be/d6PzP8ApFgk)
重點五:極限運算定理 (合成篇) (https://youtu.be/h2X2yyGyWHQ)
重點六:去零因子求極限 (https://youtu.be/vqoc59G-gRI)
重點七:去絕對值求極限 (https://youtu.be/PYzasrBZWWA)
重點八:高斯符號求極限 👈 目前在這裡
├ 精選範例 8-1 (https://youtu.be/iRFFc182HXQ)
└ 精選範例 8-2 (https://youtu.be/_9ca8cSFtpg)
重點九:含無窮符號之極限 (https://youtu.be/RhKkx7DO_kM)
重點十之一:老大比較法 (上):多項式分式 (https://youtu.be/Wr6rkCa1Neo)
重點十之二:老大比較法 (中):指數函數多項式 (https://youtu.be/FYGzcSw0U0s)
重點十之三:老大比較法 (下):叉叉接旨刺 log (https://youtu.be/YbvXCZmmff4)
重點十一:夾擠定理 (https://youtu.be/sTvtt4K85s0)
重點十二:lim_(x→0) sin(x) / x 專論 (https://youtu.be/sVohBWF-6ww)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
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【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
【數列與級數】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjcv6ChH_w0Y0WRkdbiP6xY)
【多變數函數的微積分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhoWH8tB00L6d3tWMV1l_o8)
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【附註】
1. 積分前篇和後篇自 2021 年 5 月起改成買張旭微積分上學期講義解鎖影片
2. 數列與級數以後的章節為下學期內容,為付費課程,購買後在張旭無限教室線上課程平台觀看
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透過畫出 f(x) = sin(2x+π) 的圖形,來判斷該函數當 x→0 時的極限是否存在;另外本範例複習了函數圖形平移與伸縮的觀念
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重點五:極限運算定理 (合成篇) (https://youtu.be/h2X2yyGyWHQ)
重點六:去零因子求極限 (https://youtu.be/vqoc59G-gRI)
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重點八:高斯符號求極限 (https://youtu.be/EXKQQS17k2Y)
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問題(據說是高一程度~):
現在有一個摩天輪直徑50m,它的中心點到地面30m
摩天輪轉一圈40秒,現在問從最低點到距離地面50m要多久時間?
答案是15.9秒(4捨5入後)
正解(此題規定用sin函數圖形來解);
想法是震盪的中心點位置是高度30m開始
函數 a*sin(bx+c)+d
現在套入此題
a=(55-5)/2=25
週期是40秒 (從圖來看,上下各震盪一次為一週期)
b/2拍=40 , 所以b=拍/20
c帶入點後可得 25sin ( 拍/20*x + 3拍/2 )+30
所求 25sin ( 拍/20*x + 3拍/2 )+30=50
可解出x為負 (不合) ,再做轉換動作
可得25sin ( 拍/20*x - 拍/2 ) +30=50
即可得到x=15.9
上述的解法我都大致可以理解,但是
1.為什麼同樣的函數需要做轉換後,才可以得到我要的答案?
2.我ㄧ開始的震盪中心為5,所以我的週期為80秒
(我ㄧ開始設的方程式為 50sin(拍/40)+5 ) 我個人不太懂錯在哪裡?
(它的圖形畫出來應該都是上面的很多山峰圖~
但是我想週期一樣,就把它的山峰搬下來便成類似sin的圖形~)
3.為什麼這題可以用sin cos來解 ? 摩天輪不是圓形嗎?
可是sin的上面+下面 看起來不圓阿(應該是椭圓吧...)
謝謝大家!!!!
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